Question

【題目】已知在極坐系中，點(diǎn)繞極點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn).以為原點(diǎn)，極軸為軸非負(fù)半軸，并取相同的單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，曲線(xiàn)：繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到曲線(xiàn).

（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（2）點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）14

【解析】

（1）首先根據(jù)題意得到的極坐標(biāo)方程為，設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，得到點(diǎn)在曲線(xiàn)上，即，再化簡(jiǎn)得到曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.

（2）首先設(shè)：（為參數(shù)），代入得到，利用直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義得到，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到最小值.

（1）由的直角坐標(biāo)方程為可得

即：，

設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，

則繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)在曲線(xiàn)上，

則，即，

所以曲線(xiàn)的方程為.

（2）的直角坐標(biāo)為，設(shè)：（為參數(shù)），

代入，整理后可得.

所以.

當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，符合條件.

故的最小值為