Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（Ⅱ）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）極小值為1+ln2，函數(shù)無極大值；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先確定函數(shù)的定義域（此步容易忽視），把代入函數(shù)，再進(jìn)行求導(dǎo)，列的變化情況表，即可求函數(shù)的極值；（Ⅱ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，再對(duì)分和兩種情況討論（此處易忽視這種情況），由題意函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則對(duì)恒成立，即不等式對(duì)恒成立，從而再列出應(yīng)滿足的關(guān)系式，解出的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121809094373328054/SYS201312180910356551235931_DA.files/image013.png">，      1分

，當(dāng)a=0時(shí)，，則，       3分

∴的變化情況如下表

x	(0，)		(，+∞)
	-	0	+
		極小值

∴當(dāng)時(shí)， 的極小值為1+ln2，函數(shù)無極大值.                7分

（Ⅱ）由已知，得，  8分

若,由得,顯然不合題意，       9分

若∵函數(shù)區(qū)間是增函數(shù)，

∴對(duì)恒成立，即不等式對(duì)恒成立，

即 恒成立，  11分

故，而當(dāng)，函數(shù)，  13分

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．                            14分

另解: ∵函數(shù)區(qū)間是增函數(shù)，

對(duì)恒成立，即不等式對(duì)恒成立，

設(shè)，恒成立恒成立，

若，由得，顯然不符合題意；

若，由，無解，顯然不符合題意；

若， ，故，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

考點(diǎn)：1、函數(shù)的極值；2、導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)及綜合應(yīng)用．