Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³-2ax²+b（a＞0）在區(qū)間[-2，1]上的最大值是5，最小值是-11．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若t∈[-1，1]時，f'（x）+tx≤0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的范圍判斷函數(shù)在[-2，1]上的單調(diào)性，進(jìn)而表示出函數(shù)在[-2，1]上的最大值，可求出a的值，確定函數(shù)f（x）的解析式．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)將問題f'（x）+tx≤0轉(zhuǎn)化為3x²-4x+tx≤0成立，然后令g（t）=xt+3x²-4x，問題又轉(zhuǎn)化為g（t）≤0在t∈[-1，1]上恒成立，再由一次函數(shù)的性質(zhì)可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³-2ax²+b，
∴f'（x）=3ax²-4ax=ax（3x-4）
令f'（x）=0，得x1=0，x2=

4

3

∉[-2，1]
因為a＞0，所以可得下表：

因此f（0）必為最大值，∴f（0）=5，因此b=5，
∵f（-2）=-16a+5，f（1）=-a+5，∴f（1）＞f（-2），
即f（-2）=-16a+5=-11，∴a=1，
∴f（x）=x³-2x²+5

（Ⅱ）∵f'（x）=3x²-4x，∴f'（x）+tx≤0等價于3x²-4x+tx≤0，
令g（t）=xt+3x²-4x，則問題就是g（t）≤0在t∈[-1，1]上恒成立時，求實數(shù)x的取值范圍，
為此只需

g(-1)≤0 g(1)≤0

，即

3x2-5x≤0 x2-x≤0

，
解得0≤x≤1，所以所求實數(shù)x的取值范圍是[0，1]．

點評：本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)運算和函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．導(dǎo)數(shù)時高考必考題，要重視．