Question

【題目】已知P是曲線上的點(diǎn)，Q是曲線上的點(diǎn)，曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，M為線段PQ的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

畫(huà)出函數(shù)及其關(guān)于對(duì)稱(chēng)的曲線的簡(jiǎn)圖，根據(jù)圖像，分別過(guò)P，Q作的平行線，如圖虛線，由于中點(diǎn)在圖中兩條虛線的中間線上，要中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小需要左邊最近，右邊最遠(yuǎn)，因此當(dāng)兩條虛線是如圖所示曲線的切線時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)分別是P，Q，此時(shí)P，Q的中點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離最小，利用相切求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即得解．

,

函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.

它的圖像及關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圖像如圖所示：

分別過(guò)P，Q作的平行線，如圖虛線，由于中點(diǎn)在圖中兩條虛線的中間線上，要中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小需要左邊最近，右邊最遠(yuǎn)，因此當(dāng)兩條虛線是如圖所示曲線的切線時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)分別是P，Q，此時(shí)P，Q的中點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離最小.

令，又P在y軸右側(cè)，；

根據(jù)兩條曲線的對(duì)稱(chēng)性，且P，Q處的切線斜率相等，點(diǎn)Q為點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，可求得

因此PQ中點(diǎn)坐標(biāo)為：

故答案為：