如圖，在三棱錐
中，
，
，D為AC的中點，
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）如果三棱錐
的體積為3，求
.
（1）證明過程詳見解析；（2）
.
解析試題分析：本題主要以三棱錐為幾何背景考查線線垂直、平行的判定，線面垂直，面面垂直的判定以及用空間向量法求二面角的余弦值，考查空間想象能力和計算能力.第一問，根據(jù)已知條件，取
中點
，連結(jié)
，得出
，再利用，根據(jù)線面垂直的判定證出
平面
，從而得到垂直平面內(nèi)的線
，再利用為中位線，得出
平面
，最后利用面面垂直的判定證明平面垂直平面；第二問，根據(jù)已知進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)換，利用三棱錐的體積公式列出等式，解出
的值.
試題解析：（Ⅰ）取中點為，連結(jié)，
．
因為
，所以
．
又，
，所以平面，
因為
平面，所以
． 3分
由已知，
，又
，所以
，
因為
，所以平面．
又平面，所以平面⊥平面． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
平面．
設(shè)
，因為
為
的中點，所以
， 10分
由
解得
，即． 12分
考點：1.線面垂直的判定和性質(zhì)；2.面面垂直的判定；3.錐體的體積公式.
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，AA1，BB1為圓柱OO1的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是AA1，CB1的中點，DE⊥面CBB1.
(1)證明：DE∥面ABC；
(2)求四棱錐CABB1A1與圓柱OO1的體積比．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
在幾何體ABCDE中，∠BAC=
，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1。
（1）設(shè)平面ABE與平面ACD的交線為直線
，求證：∥平面BCDE；
（2）設(shè)F是BC的中點，求證：平面AFD⊥平面AFE；
（3）求幾何體ABCDE的體積。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD//FE，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=
=2，點G為AC的中點．
（Ⅰ）求證：EG//平面ABF；
（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積；
（Ⅲ）試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，在長方體
中，
, 沿平面
把這個長方體截成兩個幾何體: 幾何體（1）；幾何體（2）
（I）設(shè)幾何體（1）、幾何體（2）的體積分為是
、
，求與的比值
(II)在幾何體（2）中，求二面角
的正切值
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）在三棱柱
中，側(cè)面
為矩形，
，
，
為
的中點，
與
交于點
，
側(cè)面.
（1）證明：
；
（2）若
，求三棱錐
的體積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。
（１）證明：平面PAB⊥平面PBC；
（２）若
，
，PB與底面ABC成60°角，
分別是
與
的中點，
是線段
上任意一動點（可與端點重合），求多面體
的體積。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
在如圖所示的幾何體中，四邊形
是正方形，
平面，
，
分別為
，
的中點，且
.
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）求三棱錐
與四棱錐
的體積之比.
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中，四邊形
為菱形，
，四邊形
為矩形，若
，
，
.
平面
；
面
；
的體積.