Question

（1）已知函數(shù)f（x）=x+

2

x

，x∈[1，5]，求f（x）的值域；
（2）已知函數(shù)f(x)=22x-

5

2

.2x+1-6，，其中x∈[0，3]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x+

2

x

≥2

x• 2 x

=2

2

，能求出f（x）=x+

2

x

在x∈[1，5]上的最小值2

2

，由函數(shù)f（x）=x+

2

x

，x∈[1，5]在[1，2

2

]上是減函數(shù)，在[2

2

，5]上是增函數(shù)，能求出f（x）在x∈[1，5]上的最大值．

解答：解：（1）∵x∈[1，5]，
∴f（x）=x+

2

x

≥2

x• 2 x

=2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

x

，即x=

2

時(shí)，f（x）=x+

2

x

取最小值2

2

，
∵函數(shù)f（x）=x+

2

x

，x∈[1，5]在[1，2

2

]上是減函數(shù)，在[2

2

，5]上是增函數(shù)，
且f(1)=1+

2

1

=3，f（5）=5+

2

5

=

27

5

，
∴f（x）的值域是[2

2

，

27

5

]．
（2）∵f(x)=22x-

5

2

.2x+1-6
=（2^x）²-5•2^x-6
=（2x-

5

2

）²+

1

4

，
∵x∈[0，3]，
∴2^x∈[1，8]，
∴當(dāng)2x=

5

2

時(shí)，f(x)min=

1

4

；
當(dāng)2^x=8時(shí)，f(x)max=(8-

5

2

)2+

1

4

=

61

2

．
故f（x）的最大值是

61

2

，最小值是

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．