Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AB=PA=

1

a

BC(a＞0)．
（Ⅰ）當a=1時，求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）若BC邊上有且只有一個點Q，使得PQ⊥QD，求此時二面角A-PD-Q的余弦值．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵PA垂直矩形底面ABCD，
∴PA垂直BD，
∵AB=PA=

1

a

BC(a＞0)，
a=1，
∴AB=PA=BC，
∴底面ABCD為正方形，
∴BD垂直于AC，
∴BD垂直于△PAC，
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）∵AB，AD，AP兩兩垂直，分別以它們所在的直線為x軸，y軸，z軸，
建立坐標系



令AB=1，則BC=a，
B（1，0，0），D（0，a，0），C（1，a，0），P（0，0，1），
設(shè)BQ=m，Q（1，m，0），（0≤m≤a），
要使PQ⊥QD，只要

PQ

•

QD

=-1+m(a-m)=0，
即m²-am+1=0，
由△=a²-4=0，得a=2，此時m=1．
∴BC邊上有且只有一個點Q，使得PQ⊥QD時，
Q為BC的中點，且a=2，
設(shè)面PQD的法向量

p

=(x，y，1)，
則

p • QD =0 p •  DP =0

，即

-x+y=0 -2y+1=0

，
∴

p

=(

1

2

，

1

2

，1)，
取面PAD的法向量

q

=(1，0，0)，
則＜

p

，

q

＞的大小與三面角A-PD-Q的大小相等，
∵cos＜

p

，

q

＞=

p • q

| p || q |

=

6

6

，
∴二面角A-PD-Q的余弦值為

6

6

．