Question

在平面直角坐標(biāo)系中，若

x+y-1≥0 x-1≤0 ax-y+1≥0

（a為正常數(shù)）所表示平面區(qū)域面積等于2
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若z=x²+y²，求z的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）畫出約束條件表示的可行域，通過三角形的面積求出B的坐標(biāo)，然后求實數(shù)a 的值；
（Ⅱ）利用z=x²+y²，的幾何意義，直接確定z的最大值時可行域內(nèi)的點(diǎn)的位置和最小值時的位置求解即可．

解答：解：（Ⅰ）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出約束條件

x+y-1≥0 x-1≤0 ax-y+1≥0

（a為正常數(shù)）
所表示的可行域，如圖，因為平面區(qū)域面積等于2，即S_△ABC=

1

2

×|AB|×1=2，解得AB=4，
B（1，4），滿足ax-y+1=0，即a-4+1=0，所以a=3．
所以實數(shù)a 的值為3；
（Ⅱ）z=x²+y²，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方．
所以z的最大值為|OB|²，即(

(1-0)2+(4-0)2

)2=17，
 Z_max=17．
Z的最小值就是原點(diǎn)到直線AC距離的平方，即(

|-1|

2

)2=

1

2

．
即  Z_min=

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查學(xué)生作圖能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．