Question

設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意的，都有為常數(shù)，且.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）

解析試題分析：（1）用公式將化簡可得間的關(guān)系，根據(jù)等比數(shù)列的定義可證得數(shù)列是等比數(shù)列。（2）屬構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/41/0/1iz9z2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，將其取倒數(shù)可推導(dǎo)出，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知為等差數(shù)列，先求的通項(xiàng)公式，再求。（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b1/1/fiiao2.png" style="vertical-align:middle;" />得通項(xiàng)公式為等差乘以等比數(shù)列所以應(yīng)用錯位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和。將表示為各項(xiàng)的和，然后將上式兩邊同時乘以通項(xiàng)公式里邊等比數(shù)列的公比，但應(yīng)將第一位空出，然后兩式相減即可。
試題解析：（1）證明：當(dāng)時，，解得．  1分
當(dāng)時，．即    2分
∵為常數(shù)，且，∴．      3分
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．          4分
（2）解：由（1）得，，．
∵， ∴，即．   7分
∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．             8分
∴，即（）．        9分
（3）解：由（2）知，則．       10分
所以，
即，    ①     
則 ②
②－①得，
    
．                                14分
考點(diǎn)：1等比數(shù)列的定義；2等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式；3錯位相減法求數(shù)列的和。