Question

【題目】如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直,.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出;若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)滿足時(shí)，有.

【解析】

試題分析：（1）先證明兩兩垂直，通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，向量法求解；（2）通過線的方向向量和平面的法向量垂直證明.

試題解析：取的中點(diǎn)，連，則，因?yàn)槠矫?/span>,且,平面,所以,所以,由兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)槿�角�?/span>為等腰直角三角形，所以，設(shè)，

所以，所以，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，所以.即直線與平面所成角的正弦值為.

存在點(diǎn) ,且時(shí)， 有.證明如下：假設(shè)上存在點(diǎn)，使得

平面,

連接交于點(diǎn)，連接,則,所以, 由,得，

其他證明方法：由，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，所以，取得，，

因?yàn)?/span>，且，所以.即點(diǎn)滿足時(shí)，有.