Question

【題目】設(shè)橢圓E： 的焦點(diǎn)在x軸上
（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
（2）設(shè)F1 ， F2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線(xiàn)F2P交y軸于點(diǎn)Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線(xiàn)上．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓E的焦距為1，∴ ，解得 ．

故橢圓E的方程為

（2）解：設(shè)P（x0，y0），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），其中 ．

由題設(shè)可知：x0≠c．則直線(xiàn)F1P的斜率 = ，直線(xiàn)F2P的斜率 = ．

故直線(xiàn)F2P的方程為 ．

令x=0，解得 ．即點(diǎn)Q ．

因此直線(xiàn)F1Q的斜率 = ．

∵F1Q⊥F1P，∴ = ．

化為 ．

聯(lián)立 ，及x0＞0，y0＞0，

解得 ， ．

即點(diǎn)P在定直線(xiàn)x+y=1上

【解析】（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)即可得出 ，解出即可；（2）設(shè)P（x0 ， y0），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），其中 ．利用斜率的計(jì)算公式和點(diǎn)斜式即可得出直線(xiàn)F1P的斜率 = ，直線(xiàn)F2P的方程為 ．即可得出Q ．得到直線(xiàn)F1Q的斜率 = ．利用F1Q⊥F1P，可得 = ．化為 ．與橢圓的方程聯(lián)立即可解出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．