Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+bx+c）e²，其中b，c∈R為常數(shù)．
（I）若b²＞4c-1，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）若b²≤4（c-1），且

lim

x→∞

f(x)-c

x

=4，試證：-6≤b≤2．

Answer 1

分析：（1）可用導數(shù)的知識求其單調(diào)性，注意到對題目中條件b²＞4c-1的運用，即保證導函數(shù)有兩個零點，再進行計算．
（2）注意到f′（0）=c，則上述極限式變形為

lim

x→∞

f(x)-f(0)

x-0

=f′（0），再結(jié)合不等式求解．

解答：解：（I）求導得f′（x）=[x²+（b+2）x+b+c]e²
因b²＞4（c-1）．故方程f′（x）=0即x²+（b+2）x+b+c=0有兩根．
x1=-

b+2

2

-

b2-4(c-1)

2

＜x2=-

b+2

2

+

b2-4(c-1)

2

令f′（x）＞0．解得x＜x₁或x＞x₂
又令f′（x）＜0．解得x₁＜x＜x₂
故當x∈（-∞，x₁）時，f（x）是增函數(shù)；當x∈（x₂，+∞）時，f（x）也是增函數(shù)；
但當x∈（x₁，x₂）時，f（x）是減函數(shù)
（II）易知f（0）=c，f'（0）=b+c，因此

lim

x→∞

f(x)-c

x

=

lim

x→∞

f(x)-f(0)

x

=f′(0)=b+c
所以，由已知條件得

b+c=4 b2≤4(c-1)

，因此b²+4b-12≤0
解得-6≤b≤2．

點評：本題中給定了不等式關系，減小了題目的難度，避免了對導函數(shù)是否有零點和有幾個零點的討論，此外，對于導數(shù)定義的考查也在本題中體現(xiàn)出來．注意到其中代換的技巧c=f′（0）．