Question

觀察下列導(dǎo)數(shù)運算：①（x³）^′=3x²；②（sinx）^′=cosx；③(ex-(

1

e

)x)′=ex+(

1

e

)x，由此歸納推理可得：若定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，則函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)g（x）滿足g（-x）-g（x）=

 

．

Answer 1

分析：由已知中：①（x³）^′=3x²；②（sinx）^′=cosx；③(ex-(

1

e

)x)′=ex+(

1

e

)x，…分析其規(guī)律，我們可以歸納推斷出，奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，即可得到答案．

解答：解：由①中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；
②中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；
③中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；
…
我們可以推斷，奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)．
若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
又∵g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，
則g（x）偶函數(shù)
故g（-x）-g（x）=0
故答案為：0．

點評：本題考查的知識點是歸納推理，及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中根據(jù)已知中原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)奇偶性的關(guān)系，得到結(jié)論是解答本題的關(guān)鍵．