Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}各項(xiàng)為正數(shù)，且a2=4a1 ， an+1= +2an（n∈N*）
（I）證明：數(shù)列{log3（1+an）}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）令bn=log3（1+a2n﹣1），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 求使Tn＞345成立時(shí)n的最小值．

Answer 1

【答案】（I）證明：∵a2=4a1 ， an+1= +2an（n∈N*），∴a2=4a1 ， a2= ，解得a1=2，a2=8．
∴an+1+1= +2an+1= ，
兩邊取對(duì)數(shù)可得：log3（1+an+1）=2log3（1+an），
∴數(shù)列{log3（1+an）}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2．
（II）解：由（I）可得：log3（1+an）=2n﹣1 ，
∴bn=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1 ，
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn= = ．
不等式Tn＞345，
化為 ＞345，即4n＞1036．
解得n＞5．
∴使Tn＞345成立時(shí)n的最小值為6
【解析】（I）由a2=4a1 ， an+1= +2an（n∈N*），可得a2=4a1 ， a2= ，解得a1 ， a2 ． 由于an+1+1= +2an+1= ，兩邊取對(duì)數(shù)可得：log3（1+an+1）=2log3（1+an），即可證明．（II）由（I）可得：log3（1+an）=2n﹣1 ， 可得bn=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1 ， 可得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 代入化簡(jiǎn)即可得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握通項(xiàng)公式：；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．