Question

橢圓 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[

π

12

，

π

4

]，則橢圓的離心率的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)左焦點(diǎn)為F′，根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，根據(jù)B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根據(jù)O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分別表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出

c

a

即離心率e，進(jìn)而根據(jù)α的范圍確定e的范圍．

解答：解：∵B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
∴B也在橢圓上
設(shè)左焦點(diǎn)為F′
根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a  …①
O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα    …②
|BF|=2ccosα    …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴

c

a

=

1

sinα+cosα

即e=

1

sinα+cosα

=

1

2 (sin(α+ π 4 )

∵a∈[

π

12

，

π

4

]，
∴

π

3

≤α+π/4≤

π

2

∴

3

2

≤sin（α+

π

4

）≤1
∴

2

2

≤e≤

6

3

故答案為[

2

2

，

6

3

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)．解題時(shí)要特別利用好橢圓的定義．