Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lg（mx2+mx+1），若此函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是；若此函數(shù)的值域為R，則實數(shù)m的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[0，4）；[4，+∞）
【解析】解：（1.）∵函數(shù)f（x）=lg（mx2+mx+1）的定義域為R，∴mx2+mx+1＞0在R上恒成立，
①當m=0時，有1＞0在R上恒成立，故符合條件；
②當m≠0時，由 ，
解得0＜m＜4，
綜上，實數(shù)m的取值范圍是[0，4）．
（2.）令g（x）=mx2+mx+1的值域為A，
∵函數(shù)f（x）=lg（mx2+mx+1）的值域為R，
∴（0，+∞）A，
當m=0時，g（x）=1值域不是為R，不滿足條件；
當m≠0時， ，解得：m≥4，
所以答案是：[0，4），[4，+∞）．
【考點精析】關于本題考查的函數(shù)的定義域及其求法，需要了解求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零才能得出正確答案．