Question

已知函數(shù)y=

2x-a

2x+1

為R上的奇函數(shù)
（1）求a的值
（2）求函數(shù)的值域
（3）判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，利用定義得出f（-x）=-f（x），從而求得a值即可；
（2）由（1）知 f(x)=1-

2

2x+1

，利用指數(shù)函數(shù)2^x的性質(zhì)結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求得f（x）的值域．
（3）先設(shè)x₁＜x₂，欲證明不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)，只須證明：f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
即

2-x-a

2-x+1

=-

2x-a

2x+1

，
解得：a=1．
∴y=

2x-1

2x+1

．
（2）由（1）知f(x)=1-

2

2x+1

（4），
∵2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，∴-1＜f（x）＜1
所以函數(shù)的值域為 （-1，1）．
（3）∵f（x）的定義域為R，設(shè)x₁＜x₂，
則 f(x1)-f(x2)=1-

1

2x1+1

-1+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．