Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n²+2a_n，n為正整數(shù)．
（1）證明：數(shù)列{lg（2a+1）}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），b_n=log 2an+1T_n，若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)之和S_n，并求使S_n＞2014的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件，利用配方法能得到2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²，再由構(gòu)造法能夠證明數(shù)列{lg（2a+1）}為等比數(shù)列．
（2）利用對數(shù)性質(zhì)由（1）經(jīng)過變形推導(dǎo)出a_n=

1

2

（3 2n-1-1），由此入手利用對數(shù)性質(zhì)能求出T_n，再由分組求和法能求出S_n，從而能求出使S_n＞2014的n的最小值．

解答：解：（1）數(shù)列{a_n}中，
∵a₁=1，a_n+1=2a_n²+2a_n，
∴2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．
∵lg（2a₁+1）=lg3≠0，（3分）
∴

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=

lg(2an+1)2

lg(2an+1)

=2．
∴{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列．（7分）
（2）∵lg（2a₁+1）=lg3，
∴l(xiāng)g（2a_n+1）=2^n-1×lg3，
∴2a_n+1=3 2n-1，
∴a_n=

1

2

（3 2n-1-1）．（9分）
∵lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）=（2ⁿ-1）lg3．
∴T_n=3 2n-1．（11分）
∴bn=log2an+1Tn
=

lgTn

lg(2an+1)

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，
∴S_n=2n-[1+

1

2

+…+(

1

2

)n-1]
=2n-2+2(

1

2

)n，（13分）
由S_n＞2014，得2n-2+2(

1

2

)n＞2014，n+(

1

2

)n＞1008，
當(dāng)n＜1007時(shí)，n+(

1

2

)n＜1008，
當(dāng)n≥1008時(shí)，n+(

1

2

)n＞1008，
∴n的最小值為1008．（16分）

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列前n項(xiàng)和的求法及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意配方法、構(gòu)造法、分組求和法的合理運(yùn)用．