Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，a=2

3

，b=2，cosA=-

1

2

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若f（x）=cos2x+csin²（x+B），求函數(shù)f（x）的最小正周期和單增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)cosA的值小于0，得到A為鈍角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，然后由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根據(jù)B為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（Ⅱ）由a，b及cosB的值，利用余弦定理即可求出c的值，把求出的c和求出的B的值代入到f（x）中，利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)周期的公式即可求出函數(shù)的最小正周期，由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）由cosA=-

1

2

＜0，A∈（

π

2

，π），得到sinA=

3

2

，又a=2

3

，b=2，（2分）
由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

，則sinB=

1

2

，因?yàn)锳為鈍角，所以B=

π

6

；（5分）
（Ⅱ）由a=2

3

，b=2，cosB=

3

2

，
根據(jù)余弦定理得：2²=c²+12-4

3

c•

3

2

，即（c-2）（c-4）=0，
解得c=2或c=4，由A為三角形的最大角，得到a=2

3

為最大邊，所以c=4舍去，
故c=2，（6分）
把c=2代入得：f(x)=cos2x+2sin2(x+

π

6

)
=cos2x-cos(2x+

π

3

)+1
=cos2x-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+1
=sin(2x+

π

6

)+1，（10分）
則所求函數(shù)的最小正周期為π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
則所求函數(shù)的單增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦．余弦定理化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題．學(xué)生求B度數(shù)的時(shí)候注意A為鈍角這個(gè)隱含條件．