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        1. 已知雙曲線C:
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)
          的漸近線方程為y=±
          3
          x
          ,O為坐標原點,點M(
          5
          3
          )
          在雙曲線上.
          (1)求雙曲線C的方程;
          (2)若直線l與雙曲線交于P,Q兩點,且
          OP
          OQ
          ,求|OP|2+|OQ|2的最小值.
          分析:(1)由漸近線方程可得關(guān)于a、b的一個方程,再把點M(
          5
          ,
          3
          )
          代入雙曲線的方程又得到關(guān)于a、b的一個方程,將以上方程聯(lián)立即可解得a、b的值;
          (2)利用
          OP
          OQ
          ?
          OP
          OQ
          =0
          、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可求出.
          解答:解:(1)雙曲線C的漸近線方程為y=±
          3
          x
          ,
          ∴b2=3a2,
          ∵點M(
          5
          3
          )
          在雙曲線上,∴
          5
          a2
          -
          3
          b2
          =1
          ,
          聯(lián)立得
          b2=3a2
          5
          a2
          -
          3
          b2
          =1
          ,解得
          a2=4
          b2=12

          ∴雙曲線C的方程為
          x2
          4
          -
          y2
          12
          =1

          (2)設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,點P(x1,y1),Q(x2,y2),
          將直線PQ的方程代入雙曲線C的方程,可化為(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0
          3-k2≠0
          △=(-2km)2-4(3-k2)(-m2-12)>0
          (*)
          x1+x2=
          2km
          3-k2
          x1x2=
          -m2-12
          3-k2
          ,
          OP
          OQ
          =0⇒x1x2+y1y2=0

          把y1=kx1+m,y2=kx2+m代入上式可得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,
          (1+k2)
          -m2-12
          3-k2
          +km
          2km
          3-k2
          +m2=0
          ,
          化簡得m2=6k2+6.
          |OP|2+|OQ|2=|PQ|2=(1+k2)[(x1+
          x
           
          2
          )2-4x1x2]=24+
          384k2
          (k2-3)2
          ,
          當k=0時,|PQ|2=24+
          384k2
          (k2-3)2
          ≥24
          成立,且滿足(*)
          又∵當直線PQ垂直x軸時,|PQ|2>24,
          ∴|OP|2+|OQ|2的最小值是24.
          點評:熟練掌握待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程、
          OP
          OQ
          ?
          OP
          OQ
          =0
          、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式是解題的關(guān)鍵.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2013•許昌三模)已知雙曲線c:
          x2
          a
          -
          y2
          b
          =1(a>.,b>0)的半焦距為c,過左焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點,若拋物線y2=4cx的準線被雙曲線截得的線段長大于
          2
          2
          3
          be2.(e為雙曲線c的離心率),則e的取值范同是
          2
          ,
          3
          2
          ,
          3

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2009•寧波模擬)已知雙曲線
          x2
          a
          -
          y2
          a2+a+1
          =1
          的離心率的范圍是數(shù)集M,設(shè)p:“k∈M”; q:“函數(shù)f(x)=
          lg
          x-1
          x-2
            x<1
          2x-k       x≥1
          的值域為R”.則P是Q成立的( 。

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          科目:高中數(shù)學 來源:寧波模擬 題型:單選題

          已知雙曲線
          x2
          a
          -
          y2
          a2+a+1
          =1
          的離心率的范圍是數(shù)集M,設(shè)p:“k∈M”; q:“函數(shù)f(x)=
          lg
          x-1
          x-2
            x<1
          2x-k       x≥1
          的值域為R”.則P是Q成立的( 。
          A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
          C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

          已知雙曲線c:
          x2
          a
          -
          y2
          b
          =1(a>.,b>0)的半焦距為c,過左焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點,若拋物線y2=4cx的準線被雙曲線截得的線段長大于
          2
          2
          3
          be2.(e為雙曲線c的離心率),則e的取值范同是______.

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