Question

（2013•薊縣二模）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅲ）求平面AC₁D與平面ACC₁A₁所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明AA₁⊥平面ABC，可得CC₁⊥AD，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理，即可證明AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）利用三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，證明A₁B∥OD，利用線(xiàn)面平行的判定定理證明A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AC₁D與平面ACC₁A₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求銳二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB
所以AA₁⊥平面ABC  …（1分）
因?yàn)锳D?平面ABC，AA₁∥CC₁，所以CC₁⊥AD 　　　…（2分）
又因?yàn)锳B=AC，D為BC中點(diǎn)，所以AD⊥BC     …（3分）
因?yàn)镃C₁∩BC=C，所以AD⊥平面BCC₁B₁；    …（4分）
（Ⅱ）證明：連結(jié)A₁C，交AC₁于點(diǎn)O，連結(jié)OD
因?yàn)锳CC₁A₁為正方形，所以O(shè)為AC₁中點(diǎn)
又D為BC中點(diǎn)，所以O(shè)D為△A₁BC中位線(xiàn)
所以A₁B∥OD   …（6分）
因?yàn)镺D?平面AC₁D，AB₁?平面AC₁D
所以A₁B∥平面AC₁D…（8分）
（Ⅲ）解：因?yàn)閭?cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°
所以AB，AC，AA₁兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
設(shè)AB=1，則A（0，0，0），C1(0，1，1)，D(

1

2

，

1

2

，0)
∴

AD

=(

1

2

，

1

2

，0)，

AC1

=（0，1，1）…（9分）
設(shè)平面AC₁D的法向量為

.

n

=（x，y，z），則有

n • AD =0 n • AC1 =0

，
∴

x+y=0 y+z=0

，∴x=-y=z
取x=1，得

n

=（1，-1，1）…（10分）
又因?yàn)锳B⊥平面ACC₁A₁
所以平面ACC₁A₁的法向量為

AB

=(1，0，0)…（11分）
∴cos＜

n

，

AB

＞=|

n • AB

| n || AB |

|=

1

3

=

3

3

       …（12分）
所以，平面AC₁D與平面ACC₁A₁所成的銳二面角的余弦值為

3

3

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面垂直，線(xiàn)面平行，考查面面角，考查空間向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．