Question

電梯內(nèi)有6人，其中4個(gè)普通人，2個(gè)逃犯．將6人逐一抓出并審查，直至2個(gè)逃犯都被查出為止．假設(shè)每次每人被抓出的概率相同，且逃犯被抓出等于被查出，以ξ表示電梯內(nèi)還剩下的普通人的個(gè)數(shù)．（1）求ξ的分布列（不寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）．（2）求數(shù)學(xué)期望Eξ．（3）求概率P（ξ≥Eξ）．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知，ξ的可能取值為0，1，2，3，4，P（ξ=0）=

C 4 4 C 1 2

C 5 6

×1=

1

3

，P（ξ=1）=

C 3 4 C 1 2

C 4 6

×

1

2

=

4

15

，P（ξ=2）=

C 2 4 • C 1 2

C 3 6

×

1

3

=

3

15

，P（ξ=3）=

C 1 4 C 1 2

C 2 6

×

1

4

=

2

15

，P（ξ=4）=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

．由此能求出ξ的分布列．
（2）利用ξ的分布列能夠求出Eξ．
（3）P（ξ≥Eξ）=P（ξ≥

4

3

）=P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4），由此能求出其結(jié)果．

解答：解：（1）由題設(shè)知，ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C 4 4 C 1 2

C 5 6

×1=

1

3

，
P（ξ=1）=

C 3 4 C 1 2

C 4 6

×

1

2

=

4

15

，
P（ξ=2）=

C 2 4 • C 1 2

C 3 6

×

1

3

=

3

15

，
P（ξ=3）=

C 1 4 C 1 2

C 2 6

×

1

4

=

2

15

，
P（ξ=4）=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	5 15	4 15	3 15	2 15	1 15

（2）Eξ=0×

5

15

+1×

4

15

+2×

3

15

+3×

2

15

+4×

1

15

=

4

3

．
（3）P（ξ≥Eξ）=P（ξ≥

4

3

）
=P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4）
=

3

15

+

2

15

+

1

15

=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和分布列，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率的性質(zhì)和應(yīng)用．