Question

在平面直角坐標系xoy中，已知

OA

=（-1，0），

OB

=（0，

3

），

OC

=（cosθ，sinθ），其中θ∈[0，

π

2

]．
（Ⅰ）若

AB

∥

OC

，求tanθ；
（Ⅱ）求

AC

•

BC

的最大值；
（Ⅲ）是否存在θ∈[0，

π

2

]，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出θ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由向量的坐標運算法則，得

AB

=（1，

3

），再根據(jù)向量平行的條件列式，解關于θ的等式即可求出tanθ；
（II）算出

AC

、

BC

的坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標式得到

AC

•

BC

=1-2sin（θ-

π

6

），再利用三角函數(shù)的圖象與性質，即可求出

AC

•

BC

的最大值；
（III）分別計算

AB

•

AC

、

BA

•

BC

，利用三角函數(shù)的值域得到它們都為正數(shù)，從而得到∠BAC、∠ABC都為銳角．因此只有當∠ACB為鈍角時△ABC為鈍角三角形，再解

CA

•

CB

＜0得到關于θ的不等式，利用三角函數(shù)的圖象得到θ∈（

π

3

，

π

2

]，即為使△ABC為鈍角三角形的θ的取值范圍．

解答：解：（I）∵

OA

=（-1，0），

OB

=（0，

3

），∴

AB

=（1，

3

）
∵

OC

=（cosθ，sinθ），

AB

∥

OC

，
∴cosθ•

3

=sinθ•1，可得tanθ=

sinθ

cosθ

=

3

結合θ∈[0，

π

2

]，可得θ=

π

3

；
（II）∵

AC

=（1+cosθ，sinθ），

BC

=（cosθ，sinθ-

3

）
∴

AC

•

BC

=cosθ（1+cosθ）+sinθ（sinθ-

3

）
=cos²θ+sin²θ-（

3

sinθ-cosθ）=1-2sin（θ-

π

6

）
∵θ∈[0，

π

2

]，可得θ-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]
∴-

1

2

≤sin（θ-

π

6

）≤

3

2

，可得1-2sin（θ-

π

6

）∈[1-

3

，2]
當且僅當θ=0時，

AC

•

BC

的最大值為2；
（III）∵

AB

=（1，

3

），

AC

=（1+cosθ，sinθ），
∴

AB

•

AC

=1+cosθ+

3

sinθ，
結合θ∈[0，

π

2

]可得

AB

•

AC

＞1為正數(shù)，因此∠BAC為銳角
同理，

BA

•

BC

=3-2sin（θ+

π

6

）＞0，可得∠ABC為銳角
由以上的分析，可得只有當∠ACB為鈍角時，△ABC為鈍角三角形
由（II），可得

CA

•

CB

=

AC

•

BC

=1-2sin（θ-

π

6

）
當sin（θ-

π

6

）＞

1

2

時，即θ-

π

6

＞

π

6

時，
也就是θ＞

π

3

時，

CA

•

CB

=1-2sin（θ-

π

6

）＜0，此時∠ACB為鈍角
因此存在θ∈（

π

3

，

π

2

]，滿足△ABC為鈍角三角形．

點評：本題給出向量含有三角函數(shù)式的坐標，求數(shù)量積的最值并討論三角形的形狀問題．著重考查了向量數(shù)量積的定義及其運算公式、三角函數(shù)式的化簡和三角函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于中檔題．