Question

如圖：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O、O₁分別是AC、A₁C₁的中點(diǎn)，E是線段D₁O上一點(diǎn)，且D₁E=λEO（λ≠0）．
（Ⅰ）求證：λ取不等于0的任何值時(shí)都有BO₁∥平面ACE；
（Ⅱ）λ=2時(shí)，證明：平面CDE⊥平面CD₁O．

Answer 1

分析：（I）證明四邊形D₁O₁BO是平行四邊形，可得BO₁∥OE，利用線面平行的判定定理，可得結(jié)論；
（II）求出平面CD₁O的一個(gè)法向量、平面CDE的法向量，證明

DB1

•

n

=0，可得平面CDE⊥平面CD₁O．

解答：證明：（I）由題意，O、O₁分別是AC、A₁C₁的中點(diǎn)，
∴四邊形D₁O₁BO是平行四邊形，
∴BO₁∥OD₁
∴BO₁∥OE
∵OE?平面ACE，BO₁?平面ACE，
∴λ取不等于0的任何值時(shí)都有BO₁∥平面ACE；
（Ⅱ）不妨設(shè)正方體的棱長為1，以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則可得D（0，0，0），B₁（1，1，1），O(

1

2

，

1

2

，0)，C（0，1，0），D₁（0，0，1）
∴

DB1

=（1，1，1），

CD1

=（0，-1，1），

OC

=(-

1

2

，

1

2

，0)
∴

DB1

•

CD1

=0，

DB1

•

OC

=0
∴DB₁⊥CD₁，DB₁⊥OC
∴平面CD₁O的一個(gè)法向量為

DB1

=（1，1，1），
∵λ=2，∴E（

1

3

，

1

3

，

1

3

）
又設(shè)平面CDE的法向量為

n

=（x，y，z）
∵

DC

=（0，1，0），

DE

=（

1

3

，

1

3

，

1

3

）
∴

y=0 1 3 (x+y+z)=0

∴可取

n

=（1，0，-1）
∴

DB1

•

n

=0
∴平面CDE⊥平面CD₁O．

點(diǎn)評：本題在正方體中研究線面平行和面面垂直的問題，考查了利用空間坐標(biāo)系研究空間的垂直問題等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．