Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，且PD⊥底面ABCD，其中PD=AD=a．
（1）求二面角A-PB-D的大��；
（2）在線段PB上是否存在一點(diǎn)E，使PC⊥平面ADE．若存在，試確定E點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC交BD于O，作OF⊥PB于F，連接AF，則∠OFA是二面角A-PB-D的平面角，可得結(jié)論；
（2）當(dāng)E是PB中點(diǎn)時(shí)，PC⊥平面ADE．取PC的中點(diǎn)H，連接EH，DH，可證結(jié)論成立．

解答：解：（1）設(shè)AC交BD于O，則
∵AC⊥BD，AC⊥PD，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD
作OF⊥PB于F，連接AF，則AF⊥PB
∴∠OFA是二面角A-PB-D的平面角
∵AB⊥PB，PA=

2

a，AB=a，PB=

3

a
∴AF=

PA•AB

PB

=

6

3

a
∴sin∠OFA=

AO

AF

=

3

2

∴∠OFA=60°
∴二面角A-PB-D的平面角是60°；
（2）當(dāng)E是PB中點(diǎn)時(shí)，PC⊥平面ADE．
證明：取PC的中點(diǎn)H，連接EH，DH，則EH∥BC
∴EH∥AD，故平面ADE即平面ADHE
∵AD⊥CD
∴AD⊥PC
∵PC⊥DH，AD∩DH=D
∴PC⊥平面ADHE
∴PC⊥平面ADE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面角，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．