Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為蓌形，PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°，E,F分別是BC,PC的中點。 

（Ⅰ）求證：AE⊥PD；

（Ⅱ）若直線PB與平面PAD所成角的正弦值為，求二面角E-AF-C的余弦值．

【解析】（Ⅰ）要證AE⊥PD ，先證AE⊥平面PAD，需要證明PA⊥AE，轉(zhuǎn)化為證PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）建立坐標(biāo)系計算二面角E-AF-C的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形.

因為E為BC的中點，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.

因為PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以 AE⊥PD.……6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，

設(shè)AB=2，AP=a，則A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F(xiàn)（），

所以?=（，-1，-a），且?=(，0，0）為平面PAD的法向量，設(shè)直線PB與平面PAD所成的角為θ，

由sinθ=|cos＜?，?＞|===……8分

解得a=2 所以?＝（,0,0），?＝（，，1）

設(shè)平面AEF的一法向量為m=(x₁,y₁,z₁)，則，因此取z₁=-1，則m=(0,2,-1),……10分 因為BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故為平面AFC的一法向量.又=（-,3,0），

所以cos＜m,＞=.

因為二面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為.