Question

直線x+y=2a（a＞1，a為常數(shù)）與曲線y=

1

x

交于兩點(diǎn)A、B，過線段AB上一點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線l₁、l₂，則l₁、l₂與曲線y=

1

x

所圍成的封閉圖形的面積最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出l₁、l₂與曲線y=

1

x

所圍成的封閉圖形的面積為S=

∫

m 1 n

（n-

1

x

）dx=（nx-lnx）

|

m 1 n

=mn-lnmn-1，再利用基本不等式，即可求出面積最大值．

解答： 解：設(shè)P（m，n），則積分區(qū)間為（

1

n

，m），
∴l(xiāng)₁、l₂與曲線y=

1

x

所圍成的封閉圖形的面積為S=

∫

m 1 n

（n-

1

x

）dx=（nx-lnx）

|

m 1 n

=mn-lnmn-1，
∵m+n=2a≥2

mn

，
∴mn≤a²，
∴mn-lnmn-1≤a²-1-2lna．
故答案為：a²-1-2lna．

點(diǎn)評：本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．