Question

選修4-5：不等式選講
對于任意實數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，試求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

解：原式等價于 ≥|x-1|+|x-2|，設(shè) ，
則原式變?yōu)閨t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，對任意t恒成立．
因為|t+1|+|2t-1|=，最小值在 t= 時取到，為，
所以有 ≥|x-1|+|x-2|= 解得 x∈[，]．
分析：設(shè) ，原式變?yōu)閨t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，對任意t恒成立，故|t+1|+|2t-1|的最小值大于或等于
|x-1|+|x-2|，從而求出實數(shù)x的取值范圍．
點評：本題考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．判斷|t+1|+|2t-1|的最小值大于或等于|x-1|+|x-2|
是解題的關(guān)鍵．