Question

設(shè)函數(shù)f(x)=2x³-3(a-1)x²+1,其中a≥1.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若方程f(x)=0在(-1,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的范圍.

Answer 1

解:由已知得f′(x)=6x［x-(a-1)］,

令f′(x)=0,解得x₁=0,x₂=a-1.

(1)當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=6x²,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.

當(dāng)a＞1時(shí),f′(x)=6x［x-(a-1)］,

f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表:

x	(-∞,0)	0	(0,a-1)	a-1	(a-1,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	遞增	有極大值	遞減	有極小值	遞增

從上表可知,當(dāng)a＞1時(shí),函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增;在(0,a-1)上單調(diào)遞減;在(a-1,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)可知須a＞1,又f(-1)=-3a+2＜0,

因此,方程f(x)=0在(-1,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根f(1)＜0.

即2-3(a-1)+1＜0且a＞1a＞2.