Question

（本小題滿(mǎn)分12分） 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱⊥底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)
(1) 證明//平面；
(2) 證明⊥平面；
(3) 求二面角——的大小。

Answer 1

（1）證明：見(jiàn)解析；（2）證明：見(jiàn)解析；（3）二面角——的大小為  

試題分析：（1）連結(jié)，交于O，連結(jié)
∵底面是正方形，∴點(diǎn)O是的中點(diǎn)
在中，是中位線(xiàn)，∴ // ， 得到證明。
（2）∵⊥底面且底面，
∴∵，可知是等腰直角三角形，而是斜邊的中線(xiàn)，
∴  推理得到平面
又且，所以⊥平面 （3）由（2）知，，
故是二面角——的平面角 
解：（1）證明：連結(jié)，交于O，連結(jié)
∵底面是正方形，∴點(diǎn)O是的中點(diǎn)
在中，是中位線(xiàn)，∴ //       …（1分）
而平面EDB且平面，
所以， // 平面                      …（3分）
（2）證明：∵⊥底面且底面，
∴
∵，可知是等腰直角三角形，而是斜邊的中線(xiàn)，
∴   ①                                           …（4分）
同樣由⊥底面，得⊥
∵底面是正方形，有DC⊥，∴⊥平面       …（5分）
而平面，∴   ②
由①和②推得平面
而平面，∴                             …（7分）
又且，所以⊥平面            …（8分）
（3）解：由（2）知，，
故是二面角——的平面角                       …（9分）
由（2）知，
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為則
， ，
在中，
在中，，                …（11分）
∴  所以，二面角——的大小為        …（12分）
（說(shuō)明：也可用向量法）
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用線(xiàn)面平行的判定定理和線(xiàn)面垂直的判定定理來(lái)得到證明，以及三垂線(xiàn)定理求解二面角的平面角。