Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連結(jié)成等腰直角三角形，直線l：x-y-b=0是拋物線x²=4y的一條切線．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足++=（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），判斷點(diǎn)P是否在橢圓C上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于直線l：x-y-b=0是拋物線x²=4y的一條切線，聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)，令△=0即可得到b．再利用橢圓C的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連結(jié)成等腰直角三角形即可得到，即可得到a．
（2）把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立即可解得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)P滿足++=（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，判斷是否滿足橢圓方程即可．
解答：解：（1）聯(lián)立，消去y得到x²-4x+4b=0．
∵直線l：x-y-b=0是拋物線x²=4y的一條切線，∴△=16-16b=0，解得b=1．
∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連結(jié)成等腰直角三角形，
∴．故所求的橢圓方程為．
（2）由得3x²-2x-1=0，解得，
∴，
設(shè)P（x，y），∵，
∴=（0，0），
解得，∴，
把點(diǎn)代入橢圓方程，得，
∴點(diǎn)P不在橢圓C上．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓錐曲線相切相交問題、向量運(yùn)算等是解題的關(guān)鍵．