Question

已知橢圓E：的右焦點恰好是拋物線C：y²=4x的焦點F，點A是橢圓E的右頂點，過點A的直線l交拋物線C于M，N兩點，滿足OM⊥ON，其中O是坐標原點，
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)過橢圓E的左頂點B作y軸平行線BQ，過點N作x軸平行線NQ，直線BQ與NQ相交于點O。若△QMN是以MN為一條腰的等腰三角形，求直線MN的方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)F(1，0)，∴a²-b²=1，A（a，0），
設直線l：x=a+my代入y²=4x中， 整理得y²-4my-4a=0，
設，則，
又∵，
∴，
由OM⊥ON得，
解得：a=4或a=0（舍），得，
所以橢圓E的方程為。
(Ⅱ)橢圓E的左頂點B（-4，0），所以點Q（-4，y²），易證M，O，Q三點共線，
①當QM為等腰△OMN的底邊時，由于ON⊥OM，
∴O是線段MQ的中點，
∴，
所以m=0，即直線MN的方程為x=4；
②當QN為等腰△QMN的底邊時，，
又∵，
解得，或，
∴，
所以直線MN的方程為，即；
綜上所述，當△OMN為等腰三角形時，直線MN的方程為x=4或。