Question

【題目】對(duì)于任意給定的無(wú)理數(shù)及實(shí)數(shù)，圓周上的有理點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況是（）

A. 至多一個(gè) B. 至多兩個(gè) C. 至少兩個(gè)，個(gè)數(shù)有限 D. 無(wú)數(shù)多個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】

對(duì)于點(diǎn)，用表示上述圓周上有理點(diǎn)的個(gè)數(shù).

首先，作一個(gè)符合條件的圓，其上至少有兩個(gè)有理點(diǎn).

為此，取點(diǎn)，線段中垂線的方程為.在垂線上取點(diǎn)，再取.則以為圓心、為半徑的圓周上至少有這兩個(gè)有理點(diǎn).

其次，說(shuō)明對(duì)于任何無(wú)理點(diǎn)以及任意正實(shí)數(shù)，都有.

為此，假設(shè)有無(wú)理點(diǎn)及正實(shí)數(shù)，在以為圓心、為半徑的圓周上至少有三個(gè)有理點(diǎn)（為有理數(shù)，）.則

.

據(jù)前一等式得，①

據(jù)后一等式得.②

則為有理數(shù).

若，則由式①得.

由為無(wú)理數(shù)得.

故共點(diǎn)，矛盾.

同理，若，可得共點(diǎn)，矛盾.

若，，由式①、②消去得

為有理數(shù).

因為無(wú)理數(shù)，所以，.

從而，.

則三點(diǎn)共線，這與三點(diǎn)共圓矛盾.

因此，所設(shè)不真，即這種圓上至多由兩個(gè)有理點(diǎn).

于是，對(duì)于所有的無(wú)理點(diǎn)及所有正實(shí)數(shù)，的最大值為2. 選B.