Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD與CA延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，EF⊥BA延長(zhǎng)線于F，若∠AED=30°
（I）求∠AFD的大��；
（II）求證：AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)AB為直徑，則∠ADB=90°；再結(jié)合EF⊥BA得到∠EFA=∠ADB=90°；可以得A、D、E、F四點(diǎn)共圓進(jìn)而求出∠AFD的大小；
（II）先根據(jù)A、D、E、F四點(diǎn)共圓得BE•BD=BF•BA；再結(jié)合RT△AEF∽R(shí)T△ABC得AE•AC=BA•AF；最后代入所證等式得右邊，整理即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）連接AD，由于AB為直徑，則∠ADB=90°，
又EF⊥BA，
∴∠EFA=∠ADB=90°；
則A、D、E、F四點(diǎn)共圓，
則∠AFD=∠AED=30°
證明：（Ⅱ） 由A、D、E、F四點(diǎn)共圓，
得BE•BD=BF•BA
連接BC，
由對(duì)頂角相等，則RT△AEF∽R(shí)T△ABC，
則AE•AC=BA•AF
從而B(niǎo)E•BD-AE•AC=BF•BA-BA•AF=AB（BF-AF）=AB²．
即AB²=BE•BD-AE•AC成立

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、相似三角形的判定及割線性質(zhì)的應(yīng)用．屬于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查．解決第二問(wèn)的關(guān)鍵在于把等式右邊的表達(dá)式轉(zhuǎn)化．