Question

（ 13分）已知橢圓，且C₁，C₂的公共弦AB過(guò)橢圓C₁的右焦點(diǎn)。

   （1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及m=0，時(shí)的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，判斷拋物線C₂的焦點(diǎn)是否在直線AB上；

   （3）是否存在m，p的值，使拋物線C₂的焦點(diǎn)恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的m，p的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（ 13分）解：（1）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0），（1，0）      …………2分

當(dāng)m=0、 時(shí)，

C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，        …………4分

 （2）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以m=0。

      ∵C₁的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴直線AB的方程為x=1。

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)A在拋物線上，

此時(shí)，C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，該焦點(diǎn)不在直線AB上。…………8分

（II）假設(shè)存在m，p使拋物線C₁的焦點(diǎn)恰在直線AB上。

由（I）知直線AB的方程為，

由    ①

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為是方程①的兩個(gè)根，

由      ②

，

將③代入②，得，③

也是方程③的兩個(gè)根，

   ④

又直線AB過(guò)C₁，C₂的焦點(diǎn)，

⑤

由④⑤，得

解得

由上可知，滿(mǎn)足條件的m，p存在，且…………13分www..com