Question

已知數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），
（1）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

Sn

2n

，如果對(duì)一切正整數(shù)n都有b_n≤t，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）由na_n+1=S_n+n（n+1）可得（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1）（n≥2）
兩式相減可整理可得，a_n+1=a_n+2（n≥2），由a₁=2，可得a₂=S₁+2=4，a₂-a₁=2
故數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（2）由（1）可求，S_n=n（n+1），bn=

Sn

2n

=

n(n+1)

2n

由數(shù)列的單調(diào)性可知，b_k≥b_k+1，b_k≥b_k-1，從而可求數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)，由b_n≤t恒成立可得t≥b_n的最大值，進(jìn)而可求t的最小

解答：解：（1）∵na_n+1=S_n+n（n+1）
∴（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1）（n≥2）
兩式相減可得，na_n+1-（n-1）a_n=S_n-S_n-1+2n
即na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，（n≥2）
整理可得，a_n+1=a_n+2（n≥2）（*）
由a₁=2，可得a₂=S₁+2=4，a₂-a₁=2適合（*）
故數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，a_n=2+（n-1）×2=2n
（2）由（1）可得，S_n=n（n+1），
∴bn=

Sn

2n

=

n(n+1)

2n

由數(shù)列的單調(diào)性可知，b_k≥b_k+1，b_k≥b_k-1

k(k+1) 2k ≥ (k+2)(k+1) 2k+1 k(k+1) 2k ≥ k(k-1) 2k-1

解不等式可得2≤k≤3，k∈N^*，k=2，或k=3，
b₂=b₃=

3

2

為數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)
由b_n≤t恒成立可得t≥

3

2

，則t的最小值

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在數(shù)列中，恒成立的問(wèn)題一般都轉(zhuǎn)化為求解數(shù)列的最值問(wèn)題，而解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（最�。╉�(xiàng)問(wèn)題．