Question

上海世博會(huì)上有一種舞臺(tái)燈，外形是正六邊棱柱，在其每個(gè)側(cè)面（編號(hào)分別是①②③④⑤⑥）上安裝5只顏色各異的燈，每只燈正常發(fā)光的概率是0.5，若一側(cè)面上至少有3只燈發(fā)光，則不需要更換這個(gè)面，否則需要更換這個(gè)面．
（1）求①號(hào)面需要更換的概率；
（2）求6個(gè)面上恰有2個(gè)面需要更換的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，分析可得若①號(hào)面需要更換，則①號(hào)面上的5個(gè)燈中至少有3只燈不能正常發(fā)光，包括有3只、4只、5只燈不能正常發(fā)光三種情況，由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率公式計(jì)算可得每種情況的概率，相加可得答案；
（2）由（1）的結(jié)論，易得每個(gè)面需要更換的概率都為

1

2

，進(jìn)而由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）①號(hào)面需要更換，即①號(hào)面上的5個(gè)燈中至少有3只燈不能正常發(fā)光，
有3只燈不能正常發(fā)光的概率為C₅³（

1

2

）³（

1

2

）²=10×（

1

2

）⁵
有4只燈不能正常發(fā)光的概率為C₅⁴（

1

2

）⁴（

1

2

）=5×（

1

2

）⁵
有5只燈不能正常發(fā)光的概率為C₅⁵（

1

2

）⁵=（

1

2

）⁵
則①號(hào)面需要更換的概率P=16×（

1

2

）⁵=

1

2

；
（2）由（1）的結(jié)論，易得每個(gè)面需要更換的概率都為

1

2

，
則6個(gè)面中恰有2個(gè)面需要更換的概率P=C₆²（

1

2

）⁴（

1

2

）²=15×（

1

2

）⁶=

15

64

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率計(jì)算，注意至少、最多、至少一類詞的含義．