Question

四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一個半徑為1的球與此四棱錐的所有面都相切，則此四棱錐的體積為

27

．

Answer 1

分析：由已知，球的球心在四棱錐P-的高上，把空間問題平面化，作出過正四棱錐的高作組合體的軸截面，利用平面幾何知識求出高，再求體積即可．

解答：解：由已知，四棱錐P-ABCD是正四棱錐，球的球心O在四棱錐的高PH上．過正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖：
其中PE，PF是斜高，A為球面與側(cè)面的切點．
設(shè)PH=h，由幾何體可知，RT△PAO∽RT△PHF，∴

OA

FH

=

PO

PF

，即

1

3

=

h-1

h2+32

，解得h=

9

4

∴此四棱錐的體積V=

1

3

Sh=

1

3

×62×

9

4

=27
故答案為：27

點評：本題主要考查了球內(nèi)切多面體、幾何體的結(jié)構(gòu)特征．考查空間想象能力、計算能力．把空間問題平面化，求出高是關(guān)鍵．