Question

【題目】已知拋物線：，點(diǎn)為直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，

（1）證明，，三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（2）已知當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程；

（3）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上，其中點(diǎn)滿足，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) ；(3) 存在一點(diǎn)滿足題意.

【解析】

(1)設(shè),對(duì)求導(dǎo),則可求出在,處的切線方程,再聯(lián)立切線方程分析即可.
(2)根據(jù)(1)中的切線方程,代入則可得到直線的方程,再聯(lián)立拋物線求弦長(zhǎng)列式求解即可.

(3)分情況,當(dāng)的縱坐標(biāo)與兩種情況,求出點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式,再利用與垂直進(jìn)行求解分析是否存在即可.

(1) 設(shè),對(duì)求導(dǎo)有,故在處的切線方程為,即,又,故

同理在處的切線方程為,

聯(lián)立切線方程有,化簡(jiǎn)得,

即的縱坐標(biāo)為,因?yàn)?/span>，故,,三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列.
(2)同(1)有在處的切線方程為,因?yàn)?/span>,

所以,即,又切線過,則,同理,故均滿足直線方程,即

故直線 ,聯(lián)立 ,

則,

即,解得,故拋物線：.

(3)設(shè),由題意得,則中點(diǎn),

又直線斜率,故設(shè) .

又的中點(diǎn)在直線上,且中點(diǎn)也在直線上,

代入得.又在拋物線上,則.

所以或.即點(diǎn)或

(1)當(dāng)時(shí),則,此時(shí)點(diǎn)滿足

(2) 當(dāng)時(shí),對(duì),此時(shí),則.

又.,所以,不成立,

對(duì),因?yàn)?/span>,此時(shí)直線平行于軸,又因?yàn)?/span>,

故直線與直線不垂直,與題設(shè)矛盾,故時(shí),不存在符合題意的點(diǎn).

綜上所述,僅存在一點(diǎn)滿足題意.