Question

已知函數(shù)f（x）=xln（1+x）-a（x+1），其中a為常數(shù)．
（I）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）求g(x)=f′(x)-

ax

x+1

的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）先把f'（x）=ln（1+x）+

x

1+x

-a＞0轉(zhuǎn)化為a＜ln（1+x）+

x

1+x

，再利用導(dǎo)函數(shù)研究出不等式右邊的單調(diào)性，進(jìn)而求出其最值即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，分情況得到導(dǎo)函數(shù)值為正和為負(fù)對(duì)應(yīng)的變量的取值范圍，進(jìn)而求出其單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（I）由f'（x）=ln（1+x）+

x

1+x

-a＞0
得a＜ln（1+x）+

x

1+x

，
令h（x）=ln（1+x）+

x

1+x

，則h'（x）=

1

1+x

+

1

(1+x) 2

．
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上遞增，
∴a＜h（1）=

1

2

+ln2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，

1

2

+ln2）．
（II）g（x）=ln（1+x）+

(1-a)x

x+1

-a，x∈（-1，+∞）
則g'（x）=

1

1+x

-

1-a

(x+1) 2

=

x+2-a

(x+1)2

①當(dāng)a＞1時(shí)，x∈（-1，a-2），g'（x）＜0，g（x）是減函數(shù)，
x∈（a-2，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）是增函數(shù)．
②當(dāng)a≤1時(shí)，x∈（-1，+∞），g'（x）＞0，g（x）是增函數(shù)．
所以：當(dāng)a＞1時(shí)，減區(qū)間為（-1，a-2），增區(qū)間為（a-2，+∞）；
當(dāng)a≤1時(shí)，增區(qū)間為（-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題第二問主要研究利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，一般結(jié)論是：導(dǎo)數(shù)大于0對(duì)應(yīng)區(qū)間為原函數(shù)的遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0對(duì)應(yīng)區(qū)間為原函數(shù)的遞減區(qū)間．