Question

計(jì)算

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

，可以采用以下方法：構(gòu)造恒等式

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+…+

C

n n

xn=(1+x)n，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

C

1 n

+2

C

2 n

x+3

C

3 n

x2+…+n

C

n n

xn-1=n(1+x)n-1，在上式中令x=1，得

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=n•2n-1．類(lèi)比上述計(jì)算方法，計(jì)算

C

1 n

+22

C

2 n

+32

C

3 n

+…+n2

C

n n

=

n（n+1）•2^n-2

．

Answer 1

分析：對(duì)C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1，兩邊同乘以x整理后再對(duì)x求導(dǎo)，最后令x=1代入整理即可得到結(jié)論．

解答：解：對(duì)C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1，兩邊同乘以x得：
xC_n¹+2C_n²x²+3C_n³x³+…+nC_nⁿxⁿ=n•x•（1+x）^n-1，
再兩邊對(duì)x求導(dǎo)
得到：C_n¹+2²C_n²x+3²C_n³x²+…+n²C_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1+n（n-1）x（1+x）^n-2
在上式中令x=1，得C_n¹+2²C_n²+3²C_n³+…+n²C_nⁿ=n•2^n-1+n（n-1）•2^n-2=n（n+1）2^n-2．
故答案為：n（n+1）2^n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．是道好題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于對(duì)C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1，兩邊同乘以x整理后再對(duì)x求導(dǎo)，要是想不到這一點(diǎn)，就變成難題了．