Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值；
（2）試討論函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）寫出分段函數(shù)，確定函數(shù)在閉區(qū)間[0，2]上的單調(diào)性，即可求函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值；
（2）確定y₁=x²-ax+1在[a，+∞）上遞增；y₂=-x²+ax+1在（-∞，

a

2

）上遞增，在（

a

2

，a）上遞減，根據(jù)f（a）=1，f（

a

2

）=

a2

4

+1，而f（

a

2

）-a=

a2

4

+1-a=

1

4

（a-2）²≥0，分類討論，可得函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x|x-1|+1=

x2-x+1，x≥1 -x2+x+1，x＜1

=

(x- 1 2 )2+ 3 4 ，x≥1 -(x- 1 2 )2+ 5 4 ，x＜1

∴函數(shù)在[0，

1

2

]上單調(diào)遞增，在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)的最大值為f（2）=3，最小值為f（0）=f（1）=1；
（2）∵a＞0，∴a＞

a

2

，
∴y₁=x²-ax+1在[a，+∞）上遞增；y₂=-x²+ax+1在（-∞，

a

2

）上遞增，在（

a

2

，a）上遞減；
∵f（a）=1，∴當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個(gè)交點(diǎn)；
又f（

a

2

）=

a2

4

+1，而f（

a

2

）-a=

a2

4

+1-a=

1

4

（a-2）²≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，上式等號(hào)成立
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有3個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有3個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查分段函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是合理化去絕對(duì)值符號(hào)．