Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）的解析式滿足 ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當a=1時，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）當a=1時，記函數(shù) ，求函數(shù)g（x）在區(qū)間 上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)x+1=t（t≠0），則x=t﹣1，

∴

∴

（2）解：當a=1時，

f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

證明：設(shè)0＜x1＜x2＜1，則

∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣1＜0，

∴ ，∴f（x1）﹣f（x2）＞0f（x1）＞f（x2）

所以，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，

同理可證得f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增

（3）解：∵ ，

∴g（x）為偶函數(shù)，

所以，∴y=g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，

又當 時，由（2）知 在 單調(diào)減，[1，2]單調(diào)增，

∴

∴當a=1時，函數(shù)g（x）在區(qū)間 上的值域的為

【解析】（1）根據(jù)整體思想x+1=t（t≠0），則x=t﹣1，代入即可得到答案；（2）先把解析式化簡后判斷出單調(diào)性，再利用定義法證明：在區(qū)間上取值﹣作差﹣變形﹣判斷符號﹣下結(jié)論，因解析式由分式，故變形時必須用通分．（3）根據(jù)題意判斷出函數(shù)g（x）的奇偶性，根據(jù)（2）中函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)g（x）在區(qū)間 上的值域．