Question

【題目】如圖，在四棱錐A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．
（1）若F是AD的中點，求證：EF∥平面ABC；
（2）若AD=DE，求BE與平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取DB中點G，連結(jié)EG、FG．

∵F是AD的中點，∴FG∥AB．

∵BD=2CE，∴BG=CE．

∵∠DBC=∠BCE

∴E、G到直線BC的距離相等，則BG∥CB，

∵EG∩FG=G

∴面EGF∥平面ABC，則EF∥平面ABC．

（2）解：以點D為原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D﹣xyz，設(shè)EC=1，則DB=2，取BC中點C，則EG∥BC，∴BC=3，

∵AD=DE，則A（0，0， ），E（0， ，0），B（2，0，0），C（ ， ，0）．

， ．

設(shè)平面ACE的法向量 ，

= x+ y=0

令y=1，則 ，|cos |= ．

∴BE與平面ACE所成角的正弦值為：

【解析】（1）取DB中點G，連結(jié)EG、FG．證面EGF∥平面ABC，即可得EF∥平面ABC．（2）以點D為原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則A（0，0， ），E（0， ，0），B（2，0，0），C（ ， ，0）．求出平面ACE的法向量即可
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．