Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a2-3)x+1
（1）若函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（m，n），且{x|x＜0}∩{m，n}≠∅．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f'（x）=x²-ax+（a²-3）≥0在R上恒成立，故△=a²-4（a²-3）≤0，由此求得實數(shù)a的取值范圍．
（2）由題意可得f'（x）=0的兩根為m，n且m，n中至少有一個負根，故有f'（0）＜0，或

△=a2-4(a2-3)＞0 a 2 ＜0 f′(0)≥0

，由此求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f'（x）=x²-ax+（a²-3），函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴f'（x）=x²-ax+（a²-3）≥0在R上恒成立．（3分）
∴△=a²-4（a²-3）≤0，
∴a≤-2或a≥2，即a∈（-∞，-2]∪[2，+∞）．（6分）
（2）∵f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（m，n），且{x|x＜0}∩{m，n}≠?．
∴f'（x）=0的兩根為m，n且m，n中至少有一個負根．（8分）
∴f'（0）＜0，或

△=a2-4(a2-3)＞0 a 2 ＜0 f′(0)≥0

，（10分）
∴a∈(-2，

3

)，即實數(shù)a的取值范圍為 (-2，

3

)．（12分）

點評：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．