Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，若{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列，{b_n+1-b_n}是等比數(shù)列．
（1）分別求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）是否存在k∈N^*，使a_k-b_k∈（0，

1

2

），若存在，求滿足條件的所有k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列，知其公差為1，可得其通項，利用{b_n+1-b_n}是等比數(shù)列，知其公比，可得數(shù)列的通項，利用疊加法，即可求數(shù)列的通項；
（2）假設(shè)k∈N^*存在，使a_k-b_k=

k2-7k+14

2

-23-k∈（0，

1

2

），結(jié)合整數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1
∵{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列，∴知其公差為1，
故a_n+1-a_n=-2+（n-1）•1=n-3                …（1分）
∵b₂-b₁=-2，b₃-b₂=-1，{b_n+1-b_n}是等比數(shù)列
∴其公比為

1

2

，
故b_n+1-b_n=-2•(

1

2

)n-1                               …（2分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=（n-1）•（-2）+

(n-1)(n-2)

2

•1+6=

n2-7n+18

2

 …（4分）
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=

-2[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

+6=2+2^3-n…（6分）
（2）假設(shè)k∈N^*存在，使a_k-b_k=

k2-7k+14

2

-23-k∈（0，

1

2

），
則0＜

k2-7k+14

2

-23-k＜

1

2

即k²-7k+13＜2^4-k＜k²-7k+14    
∵k²-7k+13與k²-7k+14是相鄰整數(shù)
∴2^4-k∉Z，這與2^4-k∈Z矛盾，所以滿足條件的k不存在    …（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．