Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，且x≥0時(shí)，f（x）=2^（x-1）．
（1）當(dāng)x＜0時(shí)，求f（x）解析式；
（2）當(dāng)x∈[-1，m]（m＞-1）時(shí)，求f（x）取值的集合．
（3）當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?span id="73k33ly" class="MathJye">[

1

2

，2]，求a，b滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）求哪設(shè)哪，利用函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，可求x＜0時(shí)f（x）的解析式；
（2）對(duì)參數(shù)m分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）取值的集合；
（3）根據(jù)x∈[a，b]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?span id="d8qzli2" class="MathJye">[

1

2

，2]，利用f（x）的單調(diào)性和對(duì)稱性，可求a，b滿足的條件．

解答：解：（1）函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，∴f（x）=f（-x）=2^（-x-1）
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=2^（-x-1）
（2）當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，x∈[-1，m]，f（x）=2^（-x-1）為減函數(shù)，∴f（x）取值的集合為[2^-m-1，1]
當(dāng)0≤m＜1時(shí)，x∈[-1，m]，f（x）在區(qū)間[-1，0]為減函數(shù)，在區(qū)間[0，m]為增函數(shù)，且f（-1）＞f（m），f(-1)=1，f(0)=2(0-1)=

1

2

∴f（x）取值的集合為[

1

2

，1]
當(dāng)1≤m時(shí)，x∈[-1，m]，f（x）在區(qū)間[-1，0]為減函數(shù)，在區(qū)間[0，m]為增函數(shù)，且f（-1）≤f（m），f(0)=2(0-1)=

1

2

，f(m)=2(m-1)
∴f（x）取值的集合為[

1

2

，2(m-1)]
綜上：當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，f（x）取值的集合為[2^-m-1，1]；當(dāng)0≤m＜1時(shí)，f（x）取值的集合為[

1

2

，1]；當(dāng)1≤m時(shí)，f（x）取值的集合為[

1

2

，2(m-1)]；
（3）當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?span id="b37lgti" class="MathJye">[

1

2

，2]，由f（x）的單調(diào)性和對(duì)稱性知，f（x）的最小值為

1

2

，
∴0∈[a，b]，
∵f（-2）=f（2）=2，
∴當(dāng)a=-2時(shí)，0≤b≤2，當(dāng)b=2時(shí)，-2≤a≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性，考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的值域，屬于中檔題．