Question

設(shè)x≥0，y≥0且x+2y=

1

2

，求函數(shù)S=log 

1

2

（8xy+4y²+1）的最值．

Answer 1

分析：根據(jù)已知中x≥0，y≥0且x+2y=

1

2

，利用代入消元法，可將函數(shù)S=log 

1

2

（8xy+4y²+1）的真數(shù)部分化為-12y²+4y+1（0≤y≤

1

4

），結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析真數(shù)部分的最值，進(jìn)而結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得答案．

解答：解：∵x≥0，y≥0且x+2y=

1

2

，
∴x=-2y+

1

2

，（0≤y≤

1

4

）
令t=8xy+4y²+1=8（-2y+

1

2

）y+4y²+1=-12y²+4y+1，0≤y≤

1

4

則當(dāng)y=

1

6

時(shí)，t取最大值

4

3

，此時(shí)函數(shù)S取最小值log 

1

2

4

3

；
則當(dāng)y=0時(shí)，t取最小值1，此時(shí)函數(shù)S取最小值log 

1

2

1=0；

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．