Question

（本題滿分12分）
某班一信息奧賽同學(xué)編了下列運(yùn)算程序，將數(shù)據(jù)輸入滿足如下性質(zhì):
①輸入1時(shí)，輸出結(jié)果是；
②輸入整數(shù)時(shí)，輸出結(jié)果是將前一結(jié)果先乘以3n-5，再除以3n+1.
（1）  求f(2),f(3),f(4);
（2） 試由（1）推測(cè)f(n)（其中）的表達(dá)式，并給出證明.

Answer 1

（1）;;.    
(2)猜想：（其中），以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：見解析。

本試題主要是考查了數(shù)列的歸納猜想思想的運(yùn)用，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法求證恒等式的綜合運(yùn)用。
（1）由題設(shè)條件知f(1)= ,=,對(duì)于n令值，然后得到前幾個(gè)值。
（2）猜想：（其中）并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，運(yùn)用兩步來證明其成立。
解：由題設(shè)條件知f(1)= ,=,
;
;
.       ………………………………3分
(2)猜想：（其中）……………………5分
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）  當(dāng)時(shí)，，
所以此時(shí)猜想成立。                ………………………………6分
（2）  假設(shè)時(shí)，成立
那么時(shí)，
……………9分
所以時(shí)，猜想成立。
由（1）（2）知，猜想：（其中）成立。
…………………………12分