Question

已知函數(shù)y=f（x）（x∈（0，2））的圖象是如圖所示的圓C的一段圓弧．現(xiàn)給出如下命題：
①f′（1）=0；
②f′（x）≥0；
③f′（x）為減函數(shù)；
④若f′（a）+f′（b）=0，則a+b=2．
其中所有正確命題的序號(hào)為

①③④

．

Answer 1

分析：對(duì)于①根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′（1）表示函數(shù)f（x）在x=1處切線的斜率，由圖可知其正確性；對(duì)于②由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上是減函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系知②不正確；對(duì)于③根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′（x）表示函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x，y）處切線的斜率，切線的斜率從正數(shù)→0→負(fù)數(shù)，且是漸漸變大的，從而進(jìn)行判斷；對(duì)于④若f′（a）+f′（b）=0，說明點(diǎn)x=a與x=b關(guān)于直線x=1對(duì)稱，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得結(jié)果．

解答：解：①根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′（1）表示函數(shù)f（x）在x=1處切線的斜率，由圖可知，函數(shù)f（x）在x=1處切線平行于x軸，故f′（1）=0，正確；
②由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上是減函數(shù)，故當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f'（x）＜0，故②不正確；
③根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′（x）表示函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x，y）處切線的斜率，由圖可知，切線的斜率從正數(shù)→0→負(fù)數(shù)，且是漸漸變大的，故f′（x）為減函數(shù)，正確；
④若f′（a）+f′（b）=0，說明點(diǎn)x=a與x=b關(guān)于直線x=1對(duì)稱，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

a+b

2

=1，則a+b=2，正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握導(dǎo)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．